Introducción
Muchas series temporales reales presentan patrones que se repiten con regularidad en cada periodo estacional: las ventas minoristas suben en Navidad, las temperaturas siguen ciclos anuales, el tráfico web tiene picos semanales. Los modelos ARIMA estándar no capturan adecuadamente esta estacionalidad y necesitan ser extendidos.
Los modelos SARIMA (Seasonal ARIMA) añaden componentes estacionales al ARIMA clásico, permitiendo modelar simultáneamente la dinámica a corto plazo (dentro del periodo estacional) y la dinámica estacional (entre periodos).
Tema 1: Estacionalidad en Series Temporales
1.1 Concepto de estacionalidad
Se dice que una serie temporal tiene estacionalidad de periodo s si presenta un patrón que se repite cada s observaciones. Los periodos estacionales más comunes son:
- s = 12: datos mensuales con ciclo anual
- s = 4: datos trimestrales con ciclo anual
- s = 7: datos diarios con ciclo semanal
- s = 24: datos horarios con ciclo diario
1.2 Diferenciación estacional
Análogamente a la diferenciación ordinaria para eliminar tendencias, la diferenciación estacional de orden s elimina el componente estacional:
Por ejemplo, para datos mensuales (s=12): Δ₁₂Y_t = Y_t − Y_{t-12} compara cada mes con el mismo mes del año anterior.
Si D es el número de diferenciaciones estacionales necesarias, aplicamos el operador (1 − Bˢ)^D a la serie antes de ajustar el modelo.
1.3 Identificación de estacionalidad en ACF/PACF
La estacionalidad se detecta en la ACF por la presencia de picos significativos en los retardos múltiplos de s: s, 2s, 3s, ... En la PACF también aparecen picos en esos retardos estacionales.
Tema 2: Componentes Estacionales S-AR y S-MA
2.1 Componente S-AR(P) — Autorregresivo estacional
El componente S-AR(1) modela la dependencia en el retardo estacional s:
De forma general, el S-AR(P) usa P retardos estacionales: Y_t = Φ₁Y_{t-s} + Φ₂Y_{t-2s} + ··· + Φ_PY_{t-Ps} + ε_t.
En notación de operadores: Φ(Bˢ)·Y_t = ε_t, donde Φ(Bˢ) = 1 − Φ₁Bˢ − ··· − Φ_P·B^{Ps}.
Patrón ACF/PACF: La PACF presenta picos aislados en los retardos s, 2s, ..., Ps y la ACF decae geométricamente en esos mismos retardos.
2.2 Componente S-MA(Q) — Media móvil estacional
El componente S-MA(1) modela los errores en el retardo estacional:
De forma general: Y_t = Θ(Bˢ)·ε_t, donde Θ(Bˢ) = 1 − Θ₁Bˢ − ··· − Θ_Q·B^{Qs}.
Patrón ACF/PACF: La ACF presenta picos aislados en los retardos s, 2s, ..., Qs y la PACF decae geométricamente en esos mismos retardos.
Tema 3: Modelo SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)_s
3.1 Definición completa
El modelo SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)_s combina el ARIMA ordinario con los componentes estacionales:
donde:
- φ(B): polinomio AR ordinario de orden p
- Φ(Bˢ): polinomio AR estacional de orden P
- Δ^d = (1−B)^d: diferenciación ordinaria d veces
- Δˢ^D = (1−Bˢ)^D: diferenciación estacional D veces
- θ(B): polinomio MA ordinario de orden q
- Θ(Bˢ): polinomio MA estacional de orden Q
3.2 Número total de parámetros
El SARIMA tiene p + q + P + Q parámetros más la constante y la varianza del error. La elección del modelo requiere especificar los 7 valores: (p, d, q, P, D, Q, s).
3.3 Metodología Box-Jenkins para SARIMA
El proceso de identificación se extiende al caso estacional:
- Visualización: identificar tendencia, estacionalidad, cambios de varianza
- Diferenciación: aplicar Δ^d y Δˢ^D hasta obtener estacionariedad (test ADF, test OCSB para estacionalidad)
- ACF/PACF de la serie transformada:
- Retardos 1, 2, ...: informan sobre p y q (componentes ordinarios)
- Retardos s, 2s, ...: informan sobre P y Q (componentes estacionales)
- Estimación: MLE de todos los parámetros conjuntamente
- Diagnóstico: residuos deben ser Ruido Blanco (test Ljung-Box para múltiples retardos)
- Predicción: con intervalos de confianza que capturan la incertidumbre estacional
Tema 4: Caso Práctico — Temperaturas en Nueva York
4.1 Descripción del dataset
Se analiza la serie de temperaturas medias mensuales en Nueva York (en grados Fahrenheit), con s = 12 (ciclo anual). La serie muestra claramente un patrón estacional: temperaturas altas en verano y bajas en invierno, repitiéndose cada año.
4.2 Identificación del modelo
Tras la diferenciación estacional (D=1, d=0), el análisis de ACF/PACF sugiere:
- Componente ordinario: picos significativos en lags 1 (ACF y PACF) → posible AR(1) o MA(1)
- Componente estacional: pico significativo solo en lag 12 de la ACF → S-MA(1)
El modelo propuesto es SARIMA(1,0,1)×(0,1,1)[12]:
4.3 Interpretación del modelo SARIMA(1,0,1)×(0,1,1)[12]
- p=1, d=0, q=1: componente ARMA(1,1) para la dinámica mensual
- P=0, D=1, Q=1: una diferenciación estacional + S-MA(1) para capturar el ciclo anual
- s=12: periodicidad mensual (ciclo anual)
Este modelo expande como: la temperatura de este mes depende de la del mismo mes del año pasado (por la diferenciación estacional), más un componente ARMA a corto plazo que recoge la inercia mes a mes.
4.4 Predicción SARIMA
El modelo ajustado produce predicciones que respetan el patrón estacional: los meses de verano se predicen más cálidos y los de invierno más fríos, con intervalos de confianza que se amplían a mayor horizonte de predicción.
Comparación de modelos para la serie de Nueva York
| Modelo | AIC | Residuos Ljung-Box |
|---|---|---|
| ARIMA(1,0,1) | Alto | Autocorrelación residual en lags estacionales |
| SARIMA(0,1,1)×(0,1,1)[12] | Medio | Sin autocorrelación |
| SARIMA(1,0,1)×(0,1,1)[12] | Menor | Sin autocorrelación — modelo seleccionado |