Plataforma de Estudio

Introducción

Los modelos ARIMA que hemos estudiado hasta ahora intentan explicar el futuro de una variable basándose en su propio pasado. Parece lógico tratar de explicar y predecir con mayor precisión usando también el presente y pasado de otras variables explicativas.

La técnica para abordar esto son los modelos de regresión con errores de series temporales. El modelo base es:

y_t = α + β·x_t + e_t

donde y_t y x_t son dos series temporales y e_t es el término de error.

Tema 1: El Problema de la Correlación Serial

1.1 Consecuencias de ignorar la autocorrelación

Si e_t es Ruido Blanco, el método de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) produce estimaciones consistentes para α y β.

Sin embargo, si e_t está correlacionado en serie, las estimaciones de α y β pueden no ser consistentes: aunque aumente el tamaño muestral n, el estimador no converge al valor real del parámetro.

Consistencia: Un estimador θ̂_n es consistente si lim_{n→∞} P(|θ̂_n − θ| < ε) = 1 para todo ε > 0. Es decir, con suficientes datos el estimador converge en probabilidad al valor real del parámetro.

1.2 ¿Por qué e_t tiene autocorrelación?

En muchas aplicaciones reales el error e_t sí muestra autocorrelación, es decir, tiene memoria: el error actual depende de errores pasados. Esto es habitual en:

Series financieras (tasas de interés, tipos de cambio)
Series económicas (PIB, inflación, desempleo)
Cualquier serie donde los factores omitidos persisten en el tiempo

Por eso usamos modelos como MA(1) para los errores:

e_t = a_t + θ·a_{t-1}

Tema 2: a_t vs e_t — La Innovación

¿Por qué no modelamos e_t directamente como Ruido Blanco?

Porque en muchos casos e_t tiene memoria (autocorrelación). Entonces la solución es encontrar la parte "verdaderamente aleatoria" dentro de e_t.

En el modelo: e_t = a_t + θ·a_{t-1}

a_t es el verdadero ruido aleatorio (la innovación): representa un shock económico puro, un error de medición. Cumple: E[a_t] = 0, Var(a_t) = σ²_a, Cov(a_t, a_{t-k}) = 0 para todo k ≠ 0.
e_t es el error observado: mezcla el ruido puro a_t con la influencia del pasado. Por eso e_t no es WN aunque a_t sí lo sea.

a_t es "lo más puro de lo aleatorio", el ruido base que genera el comportamiento de e_t.

Tema 3: Procedimiento de 4 Pasos

Los pasos para analizar modelos de regresión lineal con errores de series temporales son:

Paso 1: Ajustar OLS y verificar correlación serial de los residuos

Se estima el modelo de regresión por OLS en la escala original y se analizan los residuos ê_t: ACF, PACF y test de Dickey-Fuller para verificar si son estacionarios.

Paso 2: ¿Son estacionarios los residuos?

Bifurcación clave:

Si los residuos NO son estacionarios: tomar la primera diferencia tanto de la variable dependiente como de las explicativas y volver al Paso 1.
Si los residuos SÍ son estacionarios: identificar un modelo ARMA para los residuos (usando ACF y PACF) y modificar el modelo de regresión lineal en consecuencia.

Paso 3: Estimación conjunta por Máxima Verosimilitud (MLE)

Realizar una estimación conjunta de los parámetros de regresión (α, β) y los parámetros del modelo de errores (θ) mediante MLE. Verificar el modelo ajustado para posibles mejoras.

Paso 4: Pronóstico

Una vez que los residuos del modelo conjunto sean Ruido Blanco (WN), el modelo está listo para hacer pronósticos.

Tema 4: Caso Práctico — Tasas de Interés Semanales de EE.UU.

4.1 Descripción

Se estudia la relación entre dos series semanales de tasas de interés de bonos del Tesoro de EE.UU.:

r_{1,t}: tasa de madurez constante a 1 año
r_{3,t}: tasa de madurez constante a 3 años

La correlación entre ambas series es 0.9823.

4.2 Paso 1 — OLS en niveles

El modelo OLS estimado es:

r_{3,t} = 0.832 + 0.93·r_{1,t} + e_t

R² = 96.49%, error estándar = 0.5228. Sin embargo, los residuos son claramente no estacionarios (la ACF decae muy lentamente) y el test ADF sugiere raíz unitaria. Las dos tasas no están cointegradas.

4.3 Paso 2 — Diferenciar ambas variables

Como los residuos no son estacionarios, se toma la primera diferencia de ambas series:

c_{1,t} = (1 − L)·r_{1,t} = r_{1,t} − r_{1,t-1}

c_{3,t} = (1 − L)·r_{3,t} = r_{3,t} − r_{3,t-1}

La correlación entre los cambios ahora es 0.9084. El nuevo modelo OLS sobre los cambios:

c_{3,t} = 0.794·c_{1,t} + e_t

R² = 85.5%, error estándar = 0.06. La ACF de los residuos muestra un pico significativo en lag 1, lo que sugiere un modelo MA(1) para los errores.

El error no es WN, lo que significa que queda estructura en e_t que no está siendo explicada por x_t. Esa estructura es autocorrelación: los errores actuales dependen de errores pasados.

4.4 Paso 3 — Estimación conjunta MLE

Estimando conjuntamente con errores MA(1), el modelo final es:

c_{3,t} = 0.794·c_{1,t} + e_t

e_t = a_t + 0.1823·a_{t-1}, con σ_a = 0.0678

Deshaciendo las diferencias, el modelo en niveles equivalente es:

r_{3,t} = r_{3,t-1} + 0.794·(r_{1,t} − r_{1,t-1}) + a_t + 0.182·a_{t-1}

La serie de interés puede ser explicada por su propio pasado y por el presente y pasado de otra serie. Este es un ejemplo de modelo ARIMAX (AutoRegressive Integrated Moving Average with eXogenous variables).

Tema 5: Modelo ARIMAX

ARIMAX es la generalización natural: incorpora variables externas (exógenas) dentro de un modelo ARIMA. La forma general es:

φ(B)·Δ^d·Y_t = β₁X_{1,t} + ··· + β_kX_{k,t} + θ(B)·ε_t

Enfoque	Trata autocorrelación	Variables externas	Consistencia
OLS clásico	No	Sí	Solo si e_t = WN
Procedimiento 4 pasos	Sí	Sí	Buena
ARIMAX (MLE conjunto)	Sí	Sí	Óptima
ARIMA puro	Sí	No	Óptima (sin vars externas)

UD4: Regresión con Errores de Series Temporales