Introducción
Los modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) son la familia de modelos más utilizada para el análisis y predicción de series temporales univariantes. Desarrollados y sistematizados por Box y Jenkins en 1970, ofrecen un marco flexible para modelar una amplia variedad de patrones temporales combinando componentes autorregresivos, de media móvil y de diferenciación.
Tema 1: Modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
1.1 Modelo AR(p) — Autorregresivo de orden p
El modelo AR(p) expresa Y_t como combinación lineal de sus p valores pasados más un término de error:
donde ε_t es Ruido Blanco. Usando el operador de retardo B (donde B·Y_t = Y_{t-1}), se puede escribir de forma compacta:
El modelo es estacionario si todas las raíces del polinomio φ(B) = 0 están fuera del círculo unitario (en módulo > 1).
Patrón ACF/PACF del AR(p): ACF decae gradualmente; PACF se corta abruptamente tras el lag p.
1.2 Modelo MA(q) — Media Móvil de orden q
El modelo MA(q) expresa Y_t como combinación lineal de los q errores pasados:
En notación compacta: Y_t = θ(B)·ε_t, donde θ(B) = 1 − θ₁B − θ₂B² − ··· − θ_qBq.
El MA(q) es siempre estacionario (para cualquier valor de los parámetros). Es invertible si las raíces de θ(B) = 0 están fuera del círculo unitario, condición necesaria para obtener una representación AR(∞) del proceso.
Patrón ACF/PACF del MA(q): ACF se corta abruptamente tras el lag q; PACF decae gradualmente.
1.3 Modelo ARMA(p,q)
El modelo ARMA(p,q) combina componentes AR y MA:
Es decir: Y_t = φ₁Y_{t-1} + ··· + φ_pY_{t-p} + ε_t − θ₁ε_{t-1} − ··· − θ_qε_{t-q}
El ARMA(p,q) es más parsimonioso que un AR(p) o MA(q) puros: a menudo se puede modelar una dinámica compleja con pocos parámetros. Requiere estacionariedad (condición sobre φ) e invertibilidad (condición sobre θ).
Patrón ACF/PACF del ARMA(p,q): Ambas decaen gradualmente. La identificación del orden exacto es más difícil y se apoya en criterios de información.
Tema 2: ARIMA(p,d,q) y Diferenciación
2.1 El problema de la no estacionariedad
Muchas series reales (precios, PIB, poblaciones) no son estacionarias: presentan tendencias o varianzas crecientes. Los modelos AR y ARMA solo son válidos para series estacionarias, por lo que es necesario transformar la serie antes de ajustar el modelo.
La solución estándar es la diferenciación. La diferencia de primer orden elimina tendencias lineales:
Si una sola diferenciación no es suficiente, se aplica dos veces (diferencia de segundo orden: Δ²Y_t), aunque en la práctica d = 1 cubre la mayoría de los casos.
2.2 Definición de ARIMA(p,d,q)
Un proceso Y_t es ARIMA(p,d,q) si la serie diferenciada d veces, W_t = Δ^d·Y_t, sigue un ARMA(p,q):
donde:
- p: orden del componente autorregresivo
- d: número de diferenciaciones necesarias para estacionarizar
- q: orden del componente de media móvil
Casos especiales notables
| Notación | Modelo |
|---|---|
| ARIMA(1,0,0) | AR(1) |
| ARIMA(0,0,1) | MA(1) |
| ARIMA(0,1,0) | Random Walk |
| ARIMA(1,1,0) | AR(1) sobre primeras diferencias |
| ARIMA(0,1,1) | Suavizado exponencial simple |
Tema 3: Metodología Box-Jenkins
La metodología Box-Jenkins es un procedimiento iterativo de 5 pasos para ajustar modelos ARIMA a series temporales reales. Es el estándar en la industria para el análisis de series temporales univariantes.
Paso 1: Visualización y Análisis Exploratorio (EDA)
Antes de modelar, se visualiza la serie temporal para identificar características cualitativas: tendencias, estacionalidad, cambios de nivel, outliers, varianza no constante. Si la varianza crece con el nivel, puede ser necesaria una transformación logarítmica: Y_t* = log(Y_t).
Paso 2: Identificación (Selección de p, d, q)
Se usa el test ADF para determinar el orden de integración d. A continuación, se examinan los correlogramas (ACF y PACF) de la serie diferenciada para proponer valores tentativos de p y q:
- PACF se corta tras lag p → componente AR(p)
- ACF se corta tras lag q → componente MA(q)
- Ambas decaen → ARMA(p,q)
Paso 3: Estimación de parámetros
Los parámetros φ₁,...,φ_p y θ₁,...,θ_q se estiman por Máxima Verosimilitud (MLE). Para modelos AR puros también se puede usar mínimos cuadrados ordinarios (OLS). En la práctica se usan funciones como auto.arima() en R o ARIMA() de statsmodels en Python.
Paso 4: Diagnóstico
Se analizan los residuos ê_t del modelo ajustado. Si el modelo es correcto, los residuos deben comportarse como Ruido Blanco. Las herramientas de diagnóstico son:
- Gráfico de residuos: no deben mostrar patrones sistemáticos
- ACF de residuos: todas las autocorrelaciones deben ser estadísticamente nulas
- Test de Ljung-Box: p-valor > 0.05 confirma Ruido Blanco
- Test de normalidad: Jarque-Bera para verificar normalidad de los residuos
Si los residuos presentan autocorrelación, se vuelve al Paso 2 con un modelo revisado.
Paso 5: Predicción
Una vez validado el modelo, se generan predicciones h pasos hacia adelante con sus intervalos de confianza. El intervalo de predicción al 95% es:
donde σ_h es la desviación estándar del error de predicción h pasos adelante, que crece con h (mayor incertidumbre en el horizonte lejano).