Introducción
Una serie temporal es una sucesión de valores Y₁, Y₂, ..., Y_T medidos en instantes de tiempo t = 1, 2, ..., T equiespaciados. A diferencia de los datos transversales, en las series temporales el orden importa: cada observación tiene un lugar fijo en el tiempo y el análisis explota las relaciones entre valores pasados y futuros.
Las series temporales aparecen en multitud de ámbitos: precios de acciones, temperaturas diarias, ventas mensuales, consumo energético horario o número de usuarios activos. El objetivo principal del análisis es comprender la estructura subyacente de la serie y utilizarla para hacer predicciones.
Tema 1: Proceso Estocástico
1.1 Definición formal
Formalmente, una serie temporal es la realización observada de un proceso estocástico {Y_t : t ∈ T}. Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias indexadas en el tiempo: para cada instante t, Y_t es una variable aleatoria. Lo que observamos en la práctica es una única trayectoria (realización) de ese proceso.
El reto estadístico fundamental es que, a diferencia de los datos i.i.d., solo disponemos de una realización del proceso. Para hacer inferencia estadística válida necesitamos suponer ciertas propiedades de regularidad sobre cómo evoluciona el proceso en el tiempo.
Tema 2: Estacionariedad
2.1 Estacionariedad débil (covarianza-estacionaria)
Un proceso {Y_t} es débilmente estacionario (o estacionario en covarianza) si cumple tres condiciones:
- Media constante: E[Y_t] = μ para todo t
- Varianza finita y constante: Var[Y_t] = σ² < ∞ para todo t
- Autocovarianza solo depende del retardo: Cov[Y_t, Y_{t+s}] = γ_s solo depende del desfase s, no del instante t
Intuitivamente, la estacionariedad débil significa que las propiedades estadísticas del proceso no cambian a lo largo del tiempo: la serie fluctúa alrededor de una media fija con una dispersión constante.
2.2 Por qué importa la estacionariedad
La mayoría de los modelos clásicos de series temporales (AR, MA, ARIMA) requieren estacionariedad para que la estimación y predicción sean válidas. Una serie no estacionaria con tendencia o varianza creciente viola los supuestos del modelo y produce predicciones poco fiables.
La solución habitual es la diferenciación: si Y_t no es estacionaria, tomamos la diferencia de primer orden ΔY_t = Y_t − Y_{t−1}. Si con una diferenciación es suficiente, se dice que Y_t es I(1) (integrada de orden 1).
2.3 Test ADF (Augmented Dickey-Fuller)
Para contrastar formalmente si una serie tiene una raíz unitaria (es no estacionaria) se usa el test ADF. La hipótesis nula es H₀: existe raíz unitaria (no estacionaria). Si el p-valor es menor que el nivel de significación (p < 0.05), rechazamos H₀ y concluimos que la serie es estacionaria.
Tema 3: ACF, PACF y Ruido Blanco
3.1 Función de Autocorrelación (ACF)
La Función de Autocorrelación (ACF) mide la correlación lineal entre Y_t e Y_{t+s} en función del retardo s:
La ACF toma valores en [−1, 1]. Un valor ρ(s) próximo a ±1 indica fuerte dependencia entre observaciones separadas s periodos. La gráfica de ρ(s) frente a s se llama correlograma y es una herramienta clave para identificar el tipo de modelo.
3.2 Función de Autocorrelación Parcial (PACF)
La PACF mide la correlación entre Y_t e Y_{t+s}eliminando el efecto de los retardos intermedios. Es especialmente útil para identificar el orden p de un modelo AR: en un AR(p), la PACF se corta abruptamente después del retardo p (es cero para s > p).
3.3 Ruido Blanco
Un proceso {ε_t} es Ruido Blanco (White Noise) si satisface:
- E[ε_t] = 0 (media cero)
- Var[ε_t] = σ² < ∞ (varianza constante)
- Cov[ε_t, ε_s] = 0 para t ≠ s (no correlación)
El Ruido Blanco es estacionario y su ACF es cero para todos los retardos s ≠ 0. Es el bloque fundamental sobre el que se construyen todos los modelos ARIMA: los residuos de un buen modelo deben comportarse como Ruido Blanco.
Test de Ljung-Box
Para verificar que los residuos son Ruido Blanco se usa el test de Ljung-Box: H₀: las primeras m autocorrelaciones son todas cero. Un p-valor elevado (p > 0.05) indica que no hay autocorrelación residual, lo que valida el modelo.
Tema 4: Modelos Autorregresivos
4.1 Modelo AR(1)
El modelo AR(1) (Autorregresivo de orden 1) expresa Y_t como función lineal de su valor inmediatamente anterior más un término de error:
donde ε_t es Ruido Blanco con varianza σ².
Propiedades del AR(1)
- Estacionariedad: El AR(1) es estacionario si y solo si |φ| < 1. Si φ = 1, obtenemos un random walk (no estacionario).
- Media: E[Y_t] = 0 (si la constante es cero)
- Varianza: Var[Y_t] = σ² / (1 − φ²)
- ACF: ρ(s) = φˢ — decae geométricamente hacia cero
- PACF: φ(1,1) = φ, φ(s,s) = 0 para s > 1 — se corta abruptamente en el lag 1
Interpretación de φ
| Valor de φ | Comportamiento |
|---|---|
| 0 < φ < 1 | Persistencia positiva, decaimiento hacia la media |
| −1 < φ < 0 | Oscilación amortiguada alrededor de la media |
| φ = 1 | Random walk (no estacionario, raíz unitaria) |
| |φ| > 1 | Proceso explosivo (inestable) |
4.2 Modelo AR(2)
El modelo AR(2) incluye los dos últimos retardos:
Condiciones de estacionariedad para AR(2)
El AR(2) es estacionario si y solo si los parámetros satisfacen simultáneamente las tres condiciones:
- φ₁ + φ₂ < 1
- φ₂ − φ₁ < 1
- −1 < φ₂ < 1
El AR(2) puede generar comportamientos más ricos que el AR(1): ciclos amortiguados, oscilaciones quasi-periódicas, etc., dependiendo de si las raíces del polinomio característico son reales o complejas.
4.3 Patrones ACF/PACF para identificación del modelo
| Modelo | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | Decae gradualmente (geométrico u oscilante) | Se corta tras el lag p |
| MA(q) | Se corta tras el lag q | Decae gradualmente |
| ARMA(p,q) | Decae gradualmente | Decae gradualmente |
| Ruido Blanco | Todos ≈ 0 | Todos ≈ 0 |