Introducción
Los modelos ARIMA asumen que la varianza de los errores es constante (homocedasticidad). Sin embargo, en series financieras como precios de acciones, tipos de cambio o índices bursátiles, la varianza es claramente no constante en el tiempo: periodos de alta volatilidad se alternan con periodos de calma.
Los modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), propuestos por Engle en 1982, y su extensión GARCH (Generalized ARCH), propuesta por Bollerslev en 1986, modelan esta volatilidad condicional. El premio Nobel de Economía 2003 se concedió parcialmente a Engle por este trabajo.
Tema 1: Clustering de Volatilidad
1.1 ¿Qué es el clustering de volatilidad?
El clustering de volatilidad (volatility clustering) es el fenómeno empírico por el cual los rendimientos de activos financieros exhiben periodos de alta volatilidad seguidos de periodos de baja volatilidad. Es decir, los grandes movimientos tienden a ser seguidos por grandes movimientos, y los pequeños por pequeños.
Formalmente, aunque los rendimientos r_t pueden ser no correlacionados (ACF ≈ 0), sus cuadrados r_t² o sus valores absolutos |r_t| sí están correlacionados: ACF(r_t²) ≠ 0. Esto indica que la varianza condicional varía en el tiempo.
1.2 Evidencia empírica
- Durante la crisis financiera de 2008, la volatilidad del S&P 500 se multiplicó por 10 respecto a periodos normales
- El índice VIX (volatilidad implícita del S&P 500) fluctúa entre 10 (calma) y 80+ (crisis)
- Las distribuciones de rendimientos tienen colas más gruesas que la normal (leptocurtosis)
Tema 2: Modelo ARCH(q)
2.1 Definición
El modelo ARCH(q) modela la varianza condicional como función de los q cuadrados de errores pasados:
donde:
- σ²_t es la varianza condicional en el instante t (dada la información pasada)
- ε_t = σ_t · z_t, con z_t ~ N(0,1) i.i.d.
- ω > 0: constante (varianza incondicional de largo plazo)
- αᵢ ≥ 0: coeficientes del efecto ARCH
2.2 Condición de estacionariedad ARCH(q)
Si esta condición se cumple, la varianza incondicional es finita: σ² = ω / (1 − Σαᵢ).
2.3 Test de efectos ARCH
Se puede detectar si una serie presenta efectos ARCH usando el test de Engle (test LM): H₀: no hay efectos ARCH. Se rechaza H₀ si los cuadrados de los residuos presentan autocorrelación significativa.
Tema 3: Modelo GARCH(p,q)
3.1 Motivación: ARCH requiere muchos parámetros
El ARCH(q) necesita muchos retardos q para capturar la persistencia de la volatilidad, lo que resulta en muchos parámetros y posibles problemas de estimación. El GARCH soluciona esto añadiendo términos de varianza condicional pasada.
3.2 Definición GARCH(p,q)
El modelo GARCH(p,q) es:
donde:
- Los términos αᵢε²_{t-i}: efecto de los "choques" pasados (noticias pasadas)
- Los términos βⱼσ²_{t-j}: persistencia de la volatilidad pasada
3.3 El modelo GARCH(1,1) — el más utilizado
El GARCH(1,1) con un solo retardo de cada componente es el modelo más popular en la práctica:
- ω > 0: varianza de largo plazo (constante)
- α ≥ 0: "news coefficient" — cómo reacciona la volatilidad a nuevos choques
- β ≥ 0: "persistence coefficient" — inercia de la volatilidad
Condición de estacionariedad GARCH(1,1)
Si α + β < 1, la varianza incondicional (de largo plazo) es:
Cuando α + β se acerca a 1, la volatilidad es muy persistente (IGARCH: Integrated GARCH).
Interpretación del GARCH(1,1)
| α grande | La volatilidad reacciona fuertemente a nuevos choques (spiky) |
|---|---|
| β grande | La volatilidad se ajusta lentamente (alta persistencia) |
| α+β próximo a 1 | Volatilidad muy persistente (shocks duran mucho) |
| α+β pequeño | Volatilidad revierte rápidamente a la media |
Tema 4: Estimación y Diagnóstico
4.1 Estimación por Máxima Verosimilitud
Los modelos GARCH se estiman por MLE. Asumiendo errores normales, la log-verosimilitud es:
En Python se usa la librería arch: model = arch_model(returns, vol='Garch', p=1, q=1).
4.2 Diagnóstico del modelo GARCH
Después de ajustar el modelo, los residuos estandarizados z_t = ε_t / σ_t deben ser:
- No correlacionados (ACF de z_t ≈ 0)
- Sin efectos ARCH residuales (ACF de z_t² ≈ 0)
- Con distribución aproximadamente normal o t-Student
Tema 5: Caso Práctico — Tipo de Cambio EurUSD
5.1 Descripción de los datos
Se analiza la serie de rendimientos diarios del tipo de cambio Euro/USD. Los rendimientos log se calculan como r_t = log(P_t/P_{t-1}) ≈ (P_t − P_{t-1})/P_{t-1}.
El análisis exploratorio revela: media ≈ 0, ACF de r_t sin autocorrelación significativa, pero ACF de r_t² con picos significativos → presencia de efectos ARCH.
5.2 Resultados del GARCH(1,1) en EurUSD
La estimación MLE del GARCH(1,1) produce los siguientes parámetros típicos:
| Parámetro | Estimación | Interpretación |
|---|---|---|
| ω | ~0.000002 | Varianza de largo plazo muy pequeña |
| α | ~0.09 | Reacción moderada a nuevos choques |
| β | ~0.90 | Alta persistencia de la volatilidad |
| α+β | ~0.99 | Casi IGARCH, volatilidad muy persistente |
5.3 Predicción de volatilidad
El GARCH(1,1) genera predicciones de la volatilidad condicional futura. La predicción h pasos adelante converge a la varianza incondicional σ² = ω/(1−α−β) a medida que h crece (reversión a la media), a una tasa determinada por α+β.